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函數f(x)=x3-ax 的遞減區間是[-1,1],則f(x)的圖象在點x=2處的切線方程是(  )
分析:先求導函數,利用函數的遞減區間,求出函數的解析式,進而利用導數可求切線的斜率,從而可求曲線的切線方程.
解答:解:求導函數,f′(x)=3x2-a
∵函數f(x)=x3-ax 的遞減區間是[-1,1],
∴f′(1)=f′(-1)=0
∴3-a=0
∴a=3
∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3
當x=2時,f(2)=2,f′(x)=9
∴f(x)的圖象在點x=2處的切線方程是y-2=9(x-2)
即9x-y-16=0
故選B.
點評:本題以函數的遞減區間為載體,考查導數的運用,考查利用導數研究函數的單調性,考查導數的幾何意義,確定函數的解析式是解題的關鍵.本題給的是一個確定的區間,故得到區間兩個端點是導數為0的方程的兩個根,此處易誤為不等式.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數,函數f(x)在R上有三個零點.
(1)求b的值;
(2)若1是其中一個零點,求f(2)的取值范圍;
(3)若a=1,g(x)=f′(x)+3x2+lnx,試問過點(2,5)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切?請說明理由.

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(2007•東城區一模)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3,又坐標原點到切線l的距離為
10
10
,若x=
2
3
時,y=f(x)有極值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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(2013•寧波模擬)已知函數f(x)=x3+ax2-a2x+2,a∈R.
(1)若a<0時,試求函數y=f(x)的單調遞減區間;
(2)若a=0,且曲線y=f(x)在點A、B(A、B不重合)處切線的交點位于直線x=2上,證明:A、B 兩點的橫坐標之和小于4;
(3)如果對于一切x1、x2、x3∈[0,1],總存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)為三邊長的三角形,試求正實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=x3-3ax+b(a≠0),已知曲線y=f(x)在點(2,f(x))處在直線y=8相切.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間與極值點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于函數f(x)=x3+ax2-x+1的極值情況,4位同學有下列說法:甲:該函數必有2個極值;乙:該函數的極大值必大于1;丙:該函數的極小值必小于1;丁:方程f(x)=0一定有三個不等的實數根. 這四種說法中,正確的個數是(  )

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