Question

（2012•荊州模擬）已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0；
（1）、判斷函數f（x）在[-1，1]上的單調性，并證明你的結論；
（2）、若f（x）≤m²-2am+1對所有的x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知，令x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[-1，1]，則

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

=

f(x1)-f(x2 )

x1-x2

＞0，故f（x₁）＜f（x₂），由此得到函數f（x）在[-1，1]上是單調增函數．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數，知f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，由m²-2am+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，知g（a）=2ma-m²≤0對a∈[-1，1]恒成立，由此能求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，
若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
∴令x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[-1，1]，
則

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

=

f(x1)-f(x2 )

x1-x2

＞0，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在[-1，1]上是單調增函數．…（6分）
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函數，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，
∵m²-2am+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，
∴g（a）=2ma-m²≤0對a∈[-1，1]恒成立，
∴

g(-1)=-2m-m2≤0 g(1)=2m-m2≤0

，
解得m≥2或m≤-2或m=0．…（12分）

點評：本題考查函數單調性的判斷，求實數的取值范圍．具體涉及到定義法判斷函數的單調性、函數恒成立問題、不等式的性質．綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答．