Question

設有兩個命題：p：關于x的不等式x²+|2x-4|-a≥0對一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函數y=-|a|^x在R上是減函數，若p∧q為假命題，p∨q為真命題．求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：∵不等式x²+|2x-4|-a≥0時x∈R恒成立
∴x²+|2x-4|≥a時x∈R恒成立，
令，
∴y_min=3，∴a≤3
∴命題p為真：a≤3
函數y=-|a|^x（a≠0，a≠±1）在R上是減函數
∴|a|＞1，∴a＞1或a＜-1
∵p∧q為假，p∨q為真，∴p，q一真一假
∴
∴-1＜a＜1或a＞3
分析：根據絕對值內的式子符號進行分類討論，求出命題p為真時a的范圍，再由指數函數的單調性求出q為真時的對應a的范圍，再由p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假求出a的取值范圍．
點評：本題考查了復合命題的真假性，涉及了絕對值不等式的求法，恒成立問題，指數函數的單調性．