Question

（）（本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁

（Ⅰ）證明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅱ）設二面角A-BD-C為60°,求B₁C與平面BCD所成的角的大小

Answer 1

：解法一：（Ⅰ）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA.

連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE.又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC.

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG.由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角.由題設知，∠AGC=60^0..

    設AC=2，則AG=.又AB=2，BC=，故AF=.

由得2AD=，解得AD=.

故AD=AF.又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形.

因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF.

連接AE、DF，設AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD.

連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即與平面BCD所成的角為30⁰.

解法二：

（Ⅰ）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A—xyz.

設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC.

（Ⅱ）設平面BCD的法向量則又=（-1，1，

                         

0），=（-1，0，c）,故                  

令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角為60°知，=60°，

故  °，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

于是   ， 

，

            °

所以與平面所成的角為30°

解析:

：要證明AB=AC w，，只需證明底邊上的中線和底邊垂直即可，所以這里要 

做輔助線.已知二面角的大小，做題過程要落實，從而找到個棱長的關系，

做二面角的平面角常常利用三垂線定理和逆定理.要證明B₁C與平面BCD所成

的角，需要找到垂線和垂面.

       因為這是一個直棱柱，且AB⊥AC，所以可以建立空間直角坐標系，

利用空間向量證明和求解，常用平面的法向量求線面角.