Question

已知f(log2x)=

x2-2x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的圖象，并求出單調區間；
（3）討論f（x）與f（x+1）的大小．

Answer 1

分析：（1）根據f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，利用換元法令t=log₂x，則x=2^t，代入f(log2x)=

x2-2x+1

，即可求得f（x）的解析式；
（2）根據（1），利用函數圖象 的平移和對稱變換畫出畫出f（x）的圖象，并根據圖象求出單調區間；
（3）令f（x）=f（x+1）求出x的值，分三種情況討論f（x）與f（x+1）的大小．

解答：解：（1）f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，
令t=log₂x，則x=2^t，
∴f（t）=|2^t-1|，
即f（x）=|2^x-1|；
（2）根據函數圖象知，f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；
（3）f（x+1）=|2^x+1-1|；
1°當x＞log₂

2

3

時，有|2^x+1-1|＞|2^x-1|，即f（x）＜f（x+1）；
2°當x=log₂

2

3

時，有|2^x+1-1|=|2^x-1|，即f（x）=f（x+1）；
3°當x＜log₂

2

3

時，有|2^x+1-1|＜|2^x-1|，即f（x）＞f（x+1）．

點評：此題是個中檔題．考查了利用換元法求函數解析式和函數圖象的變換，體現了數形結合的思想，以及學生分析解決問題的能力．