Question

已知命題p：對(duì)?x∈R，函數(shù)y=lg（2^x-m+1）有意義；命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=（5-2m）^x增函數(shù)．
（I）寫出命題p的否定；
（II）若“p∧q”為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可的原命題的否定．
（II）由已知若p為真，則2^x-m+1＞0，對(duì)x∈R恒成立，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可求出命題P為真時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍；進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，可以求出命題q為真時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍；結(jié)合若“p∧q”為真，則p、q均為真，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）命題p的否定是：?x∈R，命函數(shù)y=lg（2^x-m+1）無(wú)意義．…（4分）
（II）若“p∧q”為真，則p、q均為真．…（5分）
若p為真，則2^x-m+1＞0，對(duì)x∈R恒成立，…（6分）
即2^x＞m-1，對(duì)x∈R恒成立，
∵對(duì)x∈R，2^x＞0，∴m-1≤0，∴m≤1．①…（9分）
若q為真，則5-2m＞1，∴m＜2．②…（11分）
由①，②可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全稱命題與特稱命題的關(guān)系的應(yīng)用，考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中求出命題P為真和命題q為真時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)試題．