Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點．過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l的傾斜角α=

π

4

，求|AB|；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式，即可求得結論；
（2）利用點差法，即可求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）設直線方程代入橢圓方程，確定AB的垂直平分線NG的方程，可得點G橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）直線l的方程為y=x+1，與橢圓方程聯立，可得3x²+4x=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1=0，x2=

4

3

∴|AB|=

2

|x1-x2|=

4

3

2

；
（2）設弦AB的中點M的坐標為（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依題意有

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1 x1+x2=2x y1+y2=2y y1-y2 x1-x2 = y x+1

，化簡可得x²+x+2y²=0…（7分）
（3）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的左焦點F，∴方程有兩個不等實根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得

xG=x0+ky0=- 2k2 2k2+1 + k2 2k2+1 =- k2 2k2+1 =- 1 2 + 1 4k2+2 ．

∵k≠0，
∴-

1

2

＜xG＜0，
∴點G橫坐標的取值范圍為（-

1

2

，0）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．