Question

設函數f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）當b=1且函數f（x）在其定義域上為增函數時，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，試用a表示b；
（3）在（2）的條件下，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

（1）當b=1時，函數f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定義域為（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．
∵函數f（x）是增函數，∴當x＞-1時，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．
即當x＞-1時，a≤2x+

1

x+1

恒成立．
∵當x＞-1時，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，
且當x=

2

2

-1時取等號．∴a的取值范圍為(-∞，2

2

-2]．
（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函數f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此時f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

．
當

a-4

2

=1，即a=6時，f'（x）≥0恒成立，
此時x=1不是極值點．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

得
①當a＜2時，

a-4

2

≤-1．∴當-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．∴當a＜2時，
f（x）的單調遞減區間為（-1，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
②當2＜a＜6時，-1＜

a-4

2

＜1．
∴當-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1時，f'（x）＞0；
當

a-4

2

＜x＜1時，f'（x）＜0；
∴當2＜a＜6時，f（x）的單調遞減區間為(

a-4

2

，1)，
單調遞增區間為(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．
③當a＞6時，

a-4

2

＞1．∴當-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

時，f'（x）＞0；
當1＜x＜

a-4

2

時，f'（x）＜0；
∴當a＞6時，f（x）的單調遞減區間為(1，

a-4

2

)，
單調遞增區間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．
綜上所述：∴當a＜2時，f（x）的單調遞減區間為（-1，1），
單調遞增區間為（1，+∞）；
當2＜a＜6時，f（x）的單調遞減區間為(

a-4

2

，1)，
單調遞增區間為(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；
當a＞6時，f（x）的單調遞減區間為(1，

a-4

2

)，
單調遞增區間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．