Question

已知橢圓（a＞b＞0）的兩準線間距離為6，離心率．過橢圓上任意一點P，作右準線的垂線PH（H為垂足），并延長PH到Q，使得．F₂為該橢圓的右焦點，設點P的坐標為（x，y）．
（1）求橢圓方程；
（2）求證：；
（3）當點P在橢圓上運動時，試探究是否存在實數λ，使得點Q在同一個定圓上，若存在，求出λ的值及定圓方程；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的兩準線間距離為6，離心率．可以找到關于a，b，c的3個等式，求出a，b，c，進而求出橢圓方程．
（2）利用橢圓的第二定義，可知．再根據PH=3-x，就可求出．結論得證．
（3）先假設點P在橢圓上運動時，存在實數λ，使得點Q在同一個定圓上．再根據可找到P，Q，H點坐標之間的關系，求λ．若能求出，則λ存在，若求不出，則λ不存在．
解答：解：（1）∵橢圓的兩準線間距離為6，∴=6，∵離心率．∴=．
又∵a²=b²+c²，得a=，b=
∴橢圓方程為
（2）離心率，右準線方程：x=3
∴，又∴．
（3）設Q的坐標為（x，y），H（3，y），∴y=y．∵
∴3-x=λ（x-3），∴x=3λ+3-λx
又∵，∴，即，
當且僅當，即時，
點Q在定圓上．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，做題時要認真分析．