Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑作圓，記為,與拋物線C的準線始終相切.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過圓心M作x軸垂線與拋物線相交于點N，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）過A，B，M分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為D，E，P，由題意轉化條件得，即可得A，B，F三點共線，即可得解；

（2）設直線，聯立方程可得、、，利用弦長公式可得，利用點到直線的距離求得高，表示出三角形面積后即可得解.

（1）證明：過A，B，M分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為D，E，P，

設拋物線焦點為F，

由題意知圓M的半徑，

且，

即可得，所以A，B，F三點共線，即，所以，

所以拋物線C的方程為；

（2）由（1）知拋物線，設直線，點，，

聯立可得：，，

所以，，

所以，

則，，

故點N到直線AB距離

又

，

所以，

當時，取最小值為32.

故所求三角形面積的取值范圍.