Question

已知關于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的兩根分別為x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則

b

a

的取值范圍是（　　）

• A．(-1，-

  1

  2

  ]
• B．(-1，-

  1

  2

  )
• C．(-2，-

  1

  2

  ]
• D．(-2，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合對應二次函數性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

b

a

的幾何意義，然后數形結合即可得到結論．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數為1＞0
故函數f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂
則

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

即

1+a+b＞0 3+2a+b＜0

其對應的平面區域如下圖陰影示：

∵

b

a

=

b-0

a-0

表示陰影區域上一點與原點邊線的斜率
由圖可知

b

a

∈(-2，-

1

2

)
故答案：(-2，-

1

2

)

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三個二次之間的關系，線性規劃，
其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合二次函數性質得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本題的關鍵．