Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等，有以下命題
①若A₁在底面ABC內的投影為△ABC的中心，∠A₁AB=60°；
②若A₁在底面ABC內的投影為△ABC的中心，則AB₁與面ABC所成角的正弦值為

3

3

；
③若A₁在底面ABC內的投影為線段BC的中點，則二面角A₁-AB-C的正切值為

2 3

3

④若A₁在底面ABC內的投影為線段BC的中點，則AB₁與面ABC所成角的正弦值為

14

14

．
以上正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，①②畫出一個圖形，③和④各畫出一個圖形，先找出角，再計算所求的值，從而判定命題是否正確．

解答：解：①中，如圖；
A₁在底面ABC內的投影為△ABC的中心O，
則A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥AB；
又OD⊥AB，∴AB⊥A₁D；
又AD=

1

2

AA₁，∴cos∠A₁AB=

1

2

，∴∠A₁AB=60°，①正確；
②中，如①中圖，∠A₁BO是AB₁與面ABC所成的角，
則A₁B=A₁A，AO=

2

3

×

3

2

AB=

3

3

A₁A，
∴cos∠A₁BO=

3

3

，sin∠A₁BO=

6

3

，∴②錯誤；
③中，如圖；
A₁在底面ABC內的投影為線段BC的中點O，
過點O作OD⊥AB，垂足為D，連接A₁D，
則∠A₁DO是二面角A₁-AB-C的平面角，
∴tan∠A₁DO=

A1O

OD

=

1 2 AB

3 4 AB

=

2 3

3

，∴③正確；
④中，如圖；
A₁在底面ABC內的投影為線段BC的中點O，
過點B₁作B₁E⊥平面ABC，垂足為E，連接AE，則∠B₁AE是AB₁與面ABC所成的角，
∴sin∠B₁AE=

B1E

AB1

=

1 2 AB

7 2 AB

=

14

14

，∴④正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查了求空間中的線線，線面以及面面所成的角的問題，解題時應先找出角，再計算所求的值．