Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，點E是PC的中點，F是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求直線BE與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）由BE∥MF，可得∠FMH是直線MF與平面PAD所成的線面角，解三角形FMH，可得答案．

解答：證明：（1）取PD的中點為M，連接ME，MF，
∵E是PC的中點，
∴ME是△PCD的中位線．
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
解：（2）由（1）得BE∥MF，
∴直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角．
過F做FH⊥AD，垂足為H，連MH
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAD⊥平面ABCD
又∵面PAD∩平面ABCD=AD，FH⊥AD
∴FH⊥面PAD
∴∠FMH是直線MF與平面PAD所成的線面角
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，F是AB的中點
∴DF=

3

，FH=

3

2

又∵PH=

2

，PD=

5

∴PH⊥DF
∴MH=

5

2

，sin∠FMH=

FH

FM

=

15

5

．
∴直線BE與平面PAD所成的線面角的正弦值為

15

5

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，熟練掌握線面、面面垂直與平行的判定定理和性質定理及利用等積變形計算三棱錐的體積的方法是解題的關鍵．