Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=4，DC=3，E是PC的中點．
（I）證明：PA∥平面BDE；
（II）求△PAD以PA為軸旋轉所圍成的幾何體體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AC交BD于O，連接EO．在△PCA中，根據中位線定理得到OE∥PA．再結合直線與平面平行的判定定理，可證出PA∥平面BDE．
（II）過D作PA的垂線，垂足為H，則△PAD以PA為軸旋轉所圍成的幾何體為DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個圓錐的組合體．利用錐體的體積計算公式，結合題中條件不難求出DH的長，從而算出該幾何體的體積．
解答：解：（I）連接AC交BD于O，連接EO．
∵ABCD是正方形，∴O為AC中點，
∵E為PA的中點，∴OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（II）過D作PA的垂線，垂足為H，則
△PAD以以PA為軸旋轉所圍成的幾何體為DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個圓錐的組合體
∵側棱PD⊥底面ABCD，AD⊆底面ABCD
∴PD⊥AD，
∵PD=4，DA=DC=3，∴PA=5，
所以，該幾何體的體積為：
===．
點評：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并且求旋轉體的體積，著重考查了線面平行的判定、線面垂直的性質和棱錐的體積公式等知識，屬于基礎題．