Question

【題目】在某海礁A處有一風暴中心，距離風暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船，正以北偏西a（a為銳角）角方向航行，速度為40km/h．已知距離風暴中心180km以內的水域受其影響．

（1）若輪船不被風暴影響，求角α的正切值的最大值？

（2）若輪船航行方向為北偏西45°，求輪船被風暴影響持續多少時間？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，結合圖形建立平面直角坐標系，利用直線與圓的方程求出直線與圓相切時的斜率，即可求出角α正切值的最大值；（2）求出直線被圓所截的弦長，再計算輪船被風暴影響持續的時間．

(1)根據題意畫出圖形，如圖所示，

則圓的方程為，

設過點的直線方程為，；

即，

則圓心到直線的距離為，

化簡得，

解得；

，

，

，

若輪船不被風暴影響，則角a的正切值的最大值為；

(2)若輪船航行方向為北偏西，則直線方程為，

則圓心到該直線的距離為，

弦長為，

則輪船被風暴影響持續的時間為.