Question

(本題滿分12分)

已知直線l：mx–2y+2m=0(mR)和橢圓C：(a>b>0), 橢圓C的離心率為，連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設直線l經過的定點為Q，過點Q作斜率為k的直線l^/與橢圓C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；

(Ⅲ)設直線l與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，線段PM長度的最大值為f(m)，求f(m)的表達式.

Answer 1

(本題滿分12分)

（I）由離心率，得

又因為，所以，

即橢圓標準方程為.                          4分

（II）由l：mx–2y+2m=0經過定點Q(–2, 0),  則直線l^/：y=k(x+2)， 

  由   有．

    所以，  可化為

    解得．                                  8分

(Ⅲ) 由l：mx–2y+2m=0，設x=0, 則y=m, 所以P(0, m).

設M(x, y)滿足,

則|PM|² =x² +(y –m)² =2–2y² +(y – m )² = –y² –2my +m²+2

      = –(y +m)² +2m² +2， 因為 –1y1,  所以

 當|m|>1時，|MP|的最大值f(m)=1+|m|；

 當|m|1時，|MP|的最大值f(m)=；

所以f(m)=.                         12分