Question

18．已知a＞0且a≠1，函數f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x），g（x）=-ax+2．
（1）指出f（x）的單調性（不要求證明）；
（2）若有g（2）+f（2）=3，求g（-2）+f（-2）的值；
（3）若h（x）=f（x）+g（x）-2，求使不等式h（x²+tx）+h（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用指數函數的單調性，對底數a討論，即可單調性．
（2）令f（x）+g（x）-2=h（x）．證明其奇偶性，利用奇偶性求值．
（3）利用（1）（2）中的結論，將不等式轉化為二次函數恒成立問題，即可求解t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：函數f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x），
①當0＜a＜1時，$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$遞減，
②當a＞1時，$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$遞減，
∴當且a＞0且a≠1時，f（x）是減函數．
（2）由題意g（x）=-ax+2．
設h（x）=f（x）+g（x）-2，則：h（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）-ax$，其定義域為R，關于原點對稱，
h（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{-x}}-{a}^{-x}）+ax$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}）+ax$=-[$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）-ax$]=-h（x）
∵h（-x）=-h（x），
∴h（x）是定義域為R的奇函數．
∵g（2）+f（2）=3，則：h（2）=1，
∴h（-2）=-1，即：g（2）+f（2）-2=-1
所以g（2）+f（2）=1．
（3）由（2）知h（x）是定義域為R的奇函數，且在R上為減函數，
由h（x²+tx）+h（4-x）＜0，則有：h（x²+tx）＜h（-4+x）
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=b²-4ac=（t-1）²-16＜0
解得：-3＜t＜5，
故得t的取值范圍是（-3，5）．

點評 本題考查了復合函數的單調性和構造函數思想利用奇偶性求值，將恒等式問題轉化為不等式求解，綜合性強，屬于中檔題．