Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=

1

2

，則f（x）=0在區間[0，2011]內根的個數為（　　）

A．2012

B．2011

C．1007

D．1006

Answer 1

分析：由條件推出f（1-x）=f（1+x），進而推出f（x）為偶函數，且f（x）是周期等于2的周期函數，根據f（

1

2

）=0求出f（

3

2

）=0，從而得到函數f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數f（x）在每兩個整數之間都有一個零點，從而得到f（x）=0在區間[0，2011]內根的個數．

解答：解：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函數f（x）為偶函數．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函數f（x）是周期等于2的周期函數．
由于f（

1

2

）=0，∴f（-

1

2

）=0，∴f（

3

2

）=f（2-

3

2

）=f（

1

2

）=0，
故函數f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數f（x）在每兩個整數之間都有一個零點，
f（x）=0在區間[0，2011]內根的個數為2011，
故選B．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的奇偶性與周期性的應用，抽象函數的應用，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．