Question

（2010•九江二模）在△ABC中，若AB=2，AC=3，則“∠ABC=

π

3

”是“△ABC為銳角三角形”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分且必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用正弦定理判斷出若“∠ABC=

π

3

”成立，能推出“△ABC為銳角三角形”成立，反之若“△ABC為銳角三角形”成立推不出“∠ABC=

π

3

”成立，利用充要條件的有關定義得到結論．

解答：解：因為△ABC中，AB=2，AC=3，
若“∠ABC=

π

3

”成立，則有正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

即

2

sinC

=

3

sin π 3

即sinC=

3

3

＞

1

2

，
因為AB=2＜AC=3，
所以C＜B=

π

3

，
所以C＞

π

6

，
所以B+C＞

π

2

，
所以A為銳角，
所以△ABC為銳角三角形；
反之，因為△ABC中，AB=2，AC=3，
若“△ABC為銳角三角形”成立，
有正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

即

2

sinC

=

3

sinB

得不出“∠ABC=

π

3

”成立，
所以“∠ABC=

π

3

”是“△ABC為銳角三角形”的充分不必要條件，
故選A．

點評：本題考查判斷一個命題是另一個命題的什么條件，應該先化簡各個命題，然后兩邊互相推一下，利用充要條件的有關定義進行判斷，屬于中檔題．