Question

【題目】若存在實常數k和b，使得函數F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數f（x）=x2（x∈R），g（x）= （x＜0），h（x）=2elnx，有下列命題：
①F（x）=f（x）﹣g（x）在 內單調遞增；
②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；
③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y=2 x﹣e．
其中真命題的個數為（請填所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ ，∴x∈（﹣ ，0），F′（x）=2x+ ＞0，∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣ ，0）內單調遞增，故①對；
②、③設f（x）、g（x）的隔離直線為y=kx+b，則x2≥kx+b對一切實數x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，
又 ≤kx+b對一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k﹣4≤k≤0，同理﹣4≤b≤0，故②對，③錯；
④函數f（x）和h（x）的圖象在x= 處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，
那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e=k（x﹣ ），即y=kx﹣k +e，
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x2﹣kx+k ﹣e≥0當x∈R恒成立，
則△≤0，只有k=2 ，此時直線方程為：y=2 x﹣e，
下面證明h（x）≤2 x﹣e，令G（x）=2 x﹣e﹣h（x）=2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）= ，
當x= 時，G′（x）=0，當0＜x＜ 時，G′（x）＜0，當x＞ 時，G′（x）＞0，
則當x= 時，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2 x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2 x﹣e當x＞0時恒成立．
∴函數f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2 x﹣e，故④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．