Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分別是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A的中點，M是AB的中點，點N在四邊形EFGH的四邊及其內部運動，則N滿足條件

點N在線段EG上

時，有MN⊥A₁C₁．

Answer 1

分析：連接EG、EM、GM、BD，利用正方形AA₁D₁D對邊中點連線，得到EG∥AA₁，結合AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁得到EG⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而A₁C₁⊥EG．再利用△ABD中的中位線EM∥BD，結合B₁D₁∥BD，得到EM∥B₁D₁，再由A₁C₁⊥B₁D₁得到A₁C₁⊥EM，最后利用線面垂直的判定定理得到A₁C₁⊥平面EGM．因此，當點N在EG上時，直線MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立．

解答：解：（1）連接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA₁D₁D中，E、G分別為AD、A₁D₁的中點
∴EG∥AA₁
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴EG⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁C₁⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位線
∴EM∥BD
∵BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，B₁D₁∥BD
∴EM∥B₁D₁
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C₁⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG?平面EGM
∴A₁C₁⊥平面EGM
因此，當點N在EG上時，直線MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立．
故答案為：點N在線段EG上．

點評：本題以正方體中的直線與直線平行、直線與直線垂直為例，考查了空間的線面平行和線面垂直等位置關系的證明，屬于中檔題．