Question

已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosB=

11

14

．
（I）若a=7，△ABC的面積S=

15 3

2

，求b、c的值；
（II）若cosA=

13

14

，|

CA

+

CB

|=

19

，求|

AB

|的值．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形的面積公式可求出c的值，再由余弦定理可得到b的值．
（2）根據條件先求出角A，B的正弦值，進而可得到角C的正余弦值，再由正弦定理可得到三邊的關系，最后根據向量模的運算可確定答案．

解答：解：（I）∵sinB=

5 3

14

，
S△ABC=

1

2

acsinB=

15 3

2

∴

1

2

×7×c×

5 3

14

=

15 3

2

，
∴c=6．
∴b=

a2+c2-2accosB

=

72+62-2×7×6× 11 14

=

19

．
（II）sinA=

3 3

14

，sinB=

5 3

14

，
∴cosC=-

1

2

，sinC=

3

2

由正弦定理

| CB |

3 3 14

=

| CA |

5 3 14

=

| AB |

3 2

，得|

CA

|=

5| AB |

7

，|

CB

|=

3| AB |

7

∵|

CA

+

CB

|=

19

，

CA

2+

CB

2+2

CA

•

CB

=19
∴(

5| AB |

7

)2+(

3| AB |

7

)2-(

5| AB |

7

)(

3| AB |

7

)=19，
∴|

AB

|=7

點評：本題主要考查三角形的面積公式、余弦定理和向量模的運算．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點問題每年必考，要給予重視．