Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，設C為線段AB的中點，BCDE是以BC為一邊的正方形，以B為圓心，BD為半徑的圓與AB及其延長線相交于點H及K．
（Ⅰ）求證：HC•CK=BC²；
（Ⅱ）若圓的半徑等于2，求AH•AK的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明△DHC∽△KDC，可得

DC

HC

=

CK

DC

，根據DC=BC，可得結論；
（Ⅱ）連接AD，BD，則可得AD是⊙B的切線，由切割線定理可得AD²=AH•AK，從而可求AH•AK的值．

解答：（Ⅰ）證明：連接DH，DK，則DH⊥DK，
∴△DHC∽△KDC，∴

DC

HC

=

CK

DC

，
∴DC²=HC•CK，
又DC=BC，∴BC²=HC•CK…（5分）
（Ⅱ）解：連接AD，BD，則AD⊥BD，AD=BD，
∴AD是⊙B的切線，于是AD²=AH•AK，
∵圓的半徑等于2
∴AH•AK=4…（10分）

點評：本題考查幾何證明選講，考查三角形的相似，考查圓的切線性質，屬于中檔題．