Question

10．已知O為坐標原點，F是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點，A、B分別為橢圓C的左、右頂點，P為橢圓C上一點，且PF⊥x軸．過頂點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過OE的中點，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得F，A，B的坐標，設出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=-c，x=0，可得M，E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，結合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：由題意可設F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得P（-c，±$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
設直線AE的方程為y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
設OE的中點為H，可得H（0，$\frac{ka}{2}$），由B，H，M三點共線，可得k_BH=k_BM，即$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$，即為a=3c，
可得e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質，以及直線方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題