Question

（山東卷理22）如圖，設拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

 解：（Ⅰ）證明：由題意設．

由得，得，

所以，．

因此直線的方程為，

直線的方程為．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三點的橫坐標成等差數列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當時，

將其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的兩根，因此，，

又，所以．

由弦長公式得．

又，

所以或，因此所求拋物線方程為或．

（Ⅲ）解：設，由題意得，

則的中點坐標為，

設直線的方程為，

由點在直線上，并注意到點也在直線上，

代入得．

若在拋物線上，則，

因此或．即或．

（1）當時，則，此時，點適合題意．

（2）當，對于，此時，，

又，，所以，

即，矛盾．

對于，因為，此時直線平行于軸，

 又，

所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，所以時，不存在符合題意的點．

綜上所述，僅存在一點適合題意．