Question

為加強環保建設，提高社會效益和經濟效益，某市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車，今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動車型車每年比上一年多投入a輛．
（1）求經過n年，該市被更換的公交車總數S（n）；
（2）若該市計劃7年內完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量，依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數列，由此可求出經過n年，該市被更換的公交車總數S（n）．
（2）若計劃7年內完成全部更換，所以S（7）≥10000所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000．由此能求出a的最小值．

解答：解：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量，
依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數列，{a_n}的前n項和Sn=

128×[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1].{b_n}的前n項和Tn=400n+

n(n-1)

2

a
所以經過n年，該市更換的公交車總數為：S(n)=Sn+Tn=256[(

3

2

)n-1]+400n+

n(n-1)

2

a.（7分）
（2）若計劃7年內完成全部更換，
所以S（7）≥10000
所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000
即21a≥3082，所以a≥146

16

21

又a∈N^*，所以a的最小值為147．（13分）

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，挖掘數量間的相互關系，合理地建立方程，仔細求解．