Question

【題目】設曲線上一點到焦點的距離為3．

（1）求曲線C方程；

（2）設P，Q為曲線C上不同于原點O的任意兩點，且滿足以線段PQ為直徑的圓過原點O，試問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不恒過定點，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點，詳見解析

【解析】

(1) 由拋物線定義得，可解得的值，從而得到拋物線的方程.
(2) 以為直徑的圓過原點，有,設直線的方程為,與曲線C方程聯立,得到點 的坐標,同理得到點 的坐標,寫出的方程，從而得到答案.

解：（1）由拋物線定義得，

解得，所以曲線C方程為

（2）以為直徑的圓過原點，

設直線的方程為,

與曲線C方程聯立，得

解得（舍去）或，則.

又直線的方程為，同理：.

又直線斜率存在，

的直線方程為

即

直線恒過定點.