Question

已知(

3

a

-

3	a

)n的展開式的各項系數之和等于(4

3	b

-

1

5b

)5展開式中的常數項，求(

3

a

-

3	a

)n展開式中含a^-1的項的二項式系數．

Answer 1

分析：先研究(4

3	b

-

1

5b

)5的展開式的通項為Tr+1=

C

r 5

(4

3	b

)5-r(-

1

5b

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•b

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)．求出(

3

a

-

3	a

)n的展開式的各項系數之和，解方程求出n，再由二項展開式的通項公式求得a^-1的項是第4項

解答：解：設(4

3	b

-

1

5b

)5的展開式的通項為Tr+1=

C

r 5

(4

3	b

)5-r(-

1

5b

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•b

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)．…（3分）
若它為常數項，則

10-5r

6

=0，∴r=2，代入上式∴T₃=2⁷．
即常數項是2⁷，從而可得(

3

a

-

3	a

)n中n=7，…（7分）
同理(

3

a

-

3	a

)7，由二項展開式的通項公式知，含a^-1的項是第4項，
其二項式系數是35．…（12分）

點評：本題考查二項式的系數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二項式的性質，考查了利用二項式的性質進行變形示認真一，本題是一個能力型的題，