Question

已知函數f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）求此函數的單調區間及最值；
（Ⅱ）求證：a=1時，對于任意正整數n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

；
（Ⅲ）當a=1時，是否存在過點（1，-1）的直線與函數y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意知a≠0，先對函數求導，分a＞0，a＜0討論函數的定義域及單調區間，從而確定最值．
（II）當a=1時由（I）知函數f（x）的定義域（0，+∞），在（0，1）是減函數，[1，+∞）是增函數，從而有f（x）≥f（1）?

1

x

≥ln

e

x

，分別把x=1，2，3…代入不等式相加可證
（III）假設存在滿足條件的直線與函數相切，根據導數的幾何意義，求出切線方程，結合導數的知識推導．

解答：（Ⅰ）解：由題意f′(x)=

x-a

x2

．（1分）
當a＞0時，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數在（0，a）上是減函數，在（a，+∞）上是增函數，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（3分）
當a＜0時，函數f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數在（-∞，a）上是減函數，在（a，0）上是增函數，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知f(x)=lnx-

x-1

x

≥f(1)=0，
故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，
取x=1，2，3，，
則1+

1

2

+

1

3

++

1

n

≥ln

en

n!

．（8分）
（Ⅲ）假設存在這樣的切線，設其中一個切點T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，
切線方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，將點T坐標代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，即lnx0+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
設g(x)=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，則g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在區間（0，1），（2，+∞）上是增函數，在區間（1，2）上是減函數，
故g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g(

1

4

)=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在(

1

4

，1)內有且僅有一根
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．（12分）

點評：本題考查了導數的應用：利用導數研究函數單調區間及求最值問題，而對不等式的證明問題，主要是結合函數的單調性，對于存在性問題，通常是先假設存在，由假設出發進行推導，若推出矛盾，說明假設錯誤，即不存在，反之說明存在．