Question

已知正整數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,且對(duì)任意的正整數(shù)n滿足2=a_n+1.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)b_n=,求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n.

Answer 1

(1) 數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.

(2) (1-)=-.

解析:

(1)∵對(duì)任意的正整數(shù)n,2=a_n+1                         ①

    恒成立,

    當(dāng)n=1時(shí),2=a₁+1,即(-1)²=0,

∴a₁=1.

    當(dāng)n≥2時(shí),有2=a_n-1+1.                             ②

①²-②²得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1,

    即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.∵a_n>0,∴a_n+a_n-1>0.∴a_n-a_n-1=2.

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.

(2)∵a_n+1=2n+1,

∴b_n==(-).

∴B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)

=(1-)=-.