Question

已知函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數．
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）求證：對于任意的n∈N^*，n＞1時，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

成立．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值．
（3）由（Ⅰ）知函數f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上為增函數，構造n與n-1的遞推關系，可利用疊加法求出所需結論．

解答：解：f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)． （2分）
（Ⅰ）當a=1時，f′(x)=

x-1

x2

(x＞0)．
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）．（4分）
（Ⅱ）當a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數∴f（x）_min=f（1）=0．
當0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數∴f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．
當

1

2

＜a＜1時，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈(1，2)．
又∵對于x∈[1，

1

a

)有f′（x）＜0，
對于x∈(

1

a

，2]有f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

，（6分）
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當0＜a≤

1

2

時，f(x)min=ln2-

1

2a

；
②當

1

2

＜a＜1時，f(x)min=ln

1

a

+1-

1

a

．
③當a≥1時，f（x）_min=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上為增函數，
當n＞1時，∵

n

n-1

＞1，∴f(

n

n-1

)＞f(1)，
即lnn-ln(n-1)＞

1

n

，對于n∈N^*且n＞1恒成立．（10分）
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]++[ln3-ln2]+[ln2-ln1]＞

1

n

+

1

n-1

++

1

3

+

1

2

，
∴對于n∈N^*，且n＞1時，lnn＞

1

2

+

1

3

++

1

n

恒成立．（12分）

點評：本題是函數的綜合題，綜合考查了利用導數求函數的單調區間，求函數的最值，以及證明不等式，有一定的難度，是一道很好的壓軸題．