Question

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q，且b2+S2=12，q=

S2

b2

．
（I）求a_n與b_n；
（II）設Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求T_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差，根據b2+S2=12，q=

S2

b2

列關于等差數列的公差及等比數列的公比的二元方程組，求出等差數列的公差和等比數列的公比后可得數列{a_n}與數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）把求得的數列{a_n}與數列{b_n}的通項公式代入T_n，整理后利用錯位相減法可求T_n的值．

解答：解（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，∵差數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}為等比數列，
且b2+S2=12，q=

S2

b2

，
∴

b1q+a1+a2=12 q= a1+a2 1•q

，即

q+6+d=12① 6+d=q2    ②

，解得：

d=3 q=3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．
（Ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₁b_n
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•3²+…+3×2×3^n-2+3•3^n-1
=n•3+（n-1）•3²+（n-2）•3³+…+2•3^n-1+3ⁿ．
∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．
∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1
=（3²+3³+…+3ⁿ⁺¹）-3n
=

9×(1-3n)

1-3

-3n=

3n+2

2

-3n-

9

2

．
∴Tn=

3n-1

2

-n-

3

2

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求數列的前n項和，一個等差數列和一個等比數列的積數列，其前n項和的求法一般是用錯位相減法．此題是中檔題．