Question

某工廠生產(chǎn)某種水杯，每個(gè)水杯的原材料費(fèi)、加工費(fèi)分別為30元、m元（m為常數(shù)，且2≤m≤3），設(shè)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，水杯的日銷售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例，已知每個(gè)水杯的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10個(gè)．
（Ⅰ）求該工廠的日利潤(rùn)y（元）與每個(gè)水杯的出廠價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的日利潤(rùn)最大，并求日利潤(rùn)的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量，根據(jù)日利潤(rùn)y=每件的利潤(rùn)×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實(shí)際問(wèn)題自變量的范圍．
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，利用2≤m≤3，可得函數(shù)在35≤x≤41范圍內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)日銷量為s，則s=

k

ex

∵x=40，s=10，∴10=

k

e40

，∴k=10e⁴⁰，∴s=

10e40

ex

∴y=

10e40

ex

（x-30-m）（35≤x≤40）；
（Ⅱ）y′=

10e40

ex

（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
∴當(dāng)2≤m≤3時(shí)，33≤31+m≤34，y′＜0，∴當(dāng)35≤x≤41時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=35時(shí)，y取最大值，最大值為10（5-t）e⁵．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，屬于中檔題．