Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD 且2EF=BD．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）利用條件公式求幾何體的條件．

解答：解：（Ⅰ）∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．…（2分）
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（4分）
∴AC⊥平面BDEF．                       …（6分）
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）連結FO，∵EF∥DO，且EF=DO，
∴四邊形EFOD是平行四邊形．
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，
∴四邊形EFOD是矩形．…（8分）
方法一：∴F0∥ED，
而ED⊥平面ABCD，∴F0⊥平面ABCD．
∵ABCD是邊長為2的正方形，∴OA=OC=

2

．
由（Ⅰ）知，點A，C到平面BDEF的距離分別是OA，OC，
從而V=VA-EFCD+VC-EFOD+VF-ABC=2VA-EFOD+VF-ABC=2×

1

3

×1×

2

+

1

3

×1×

1

2

×22=2；
方法二：∵平面EAC⊥平面BDEF．
∴點F到平面ACE的距離等于就是Rt△EFO斜邊EO上的高，
且高h=

EF?FO

OE

=

1× 2

3

=

6

3

．…（10分）
∴幾何體ABCDEF的體積
V=VE-ACD+VF-ACE+VF-ABC=

1

3

?

1

2

?2?2?2+

1

3

?

1

2

?2

2

?

6

3

+

1

3

?

1

2

?2?2?1=2．
…（12分）

點評：本題主要考查空間面面垂直的判定以及空間幾何體的體積，要求熟練掌握相應的判定定理．