Question

已知函數f（x）=a^x+1-2（a＞0，且a≠1）設f^-1（x）是f（x）的反函數．
（I）若y=f^-1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互為相反數，求a的值；
（Ⅱ）若y=f^-1（x）的圖象不經過第二象限，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求原函數f（x）=a^x+1-2的反函數，即從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式．先研究f^-1（x）在[0，1]的單調性，得到當x取何值時，此函數取得最值，最后得到等式：f^-1（0）+f'（1）=0，解此關于a方程即可求得a值；
（II）由對數函數的圖象可知，f^-1（x）的圖象不經過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點位于x軸的非負半軸上，從而列出等式求出圖象與x軸交點橫坐標x=a-2，令其非負即可求得a的取值范圍．

解答：解：（I）因為a^x+1＞0，
所以f（x）的值域是{y|y＞-2}．（2分）
設y=a^x+1-2，解得x=log_a（y+2）-1．
當a＞1時，f^-1（x）=log_a（x+2）-1為（-2，+∞）上的增函數，（6分）
所以f^-1（0）+f'（1）=0即（log_a2-1）+（log_a3-1）=0
解得a=

6

．（4分）
（II）由（I）得f（x）的反函數為f^-1（x）=log_a（x+2）-1，（x＞-2），它的圖象不過第二象限，
當a＞1時，函數f^-1（x）是（-2，+∞）上的增函數，且經過定點（-1，-1）．
所以f^-1（x）的圖象不經過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點位于x軸的非負半軸上．（11分）
令log_a（x+2）-1=0，解得x=a-2，
由a-2≥0，解得a≥2．（13分）

點評：本題考查反函數的求法、對數函數的圖象變換及其性質，屬于對數函數綜合題目．