Question

已知f(x)=2sin(2x+

π

6

)，若 f(x0)=

6

5

，x0∈ [

π

4

，

π

2

]，則cos2x₀=

3-4 3

10

．

Answer 1

分析：利用三角函數的平方關系求出cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，將cos2x₀寫出cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

 ]，利用兩角差的余弦公式展開，將三角函數值代入化簡即可．

解答：解：因為 f(x0)=

6

5

，x0∈ [

π

4

，

π

2

]，
所以2sin(2x0+

π

6

)=

6

5

，
所以sin(2x0+

π

6

)=

3

5

，
因為x0∈ [

π

4

，

π

2

]，
所以cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，
所以cos2x₀=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

 ]
=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

故答案為：

3-4 3

10

．

點評：本題考查已知某些角的三角函數值求其他角的三角函數值常利用湊角的方法，然后利用和、差角的三角函數公式解決．本題的關鍵是將cos2x₀寫出cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

 ]．