Question

13．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是首項為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．可得4a₁+3d=18，$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），解出即可得出．
（2）由{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是首項為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，b_n=（2n+1）•3^n-1．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
∴4a₁+3d=18，${a}_{4}^{2}={a}_{1}•{a}_{13}$，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）∵{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是首項為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，∴b_n=（2n+1）•3^n-1．
∴數列{b_n}前n項和T_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1．
3T_n=3²+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
∴-2T_n=3+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+1-（2n+1）•3ⁿ
∴T_n=n•3ⁿ．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．