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【題目】已知函數.

（1）當時，證明：函數有兩個零點；

（2）當時，求函數在區間上的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為；當時，的最小值為.

【解析】

（1）求出導函數，得到原函數的單調區間，利用零點存在性定理即可證明.

（2）解出導函數方程的根，討論根與給定區間關系，分類討論函數單調區間，從而求出函數最值.

（1）當時，.

令，得，

當時，在上為減函數；

當時，在上為增函數.

因為，

，

所以，當時，函數有兩個零點.

（2）.

當時，令，得，

當時，在上為減函數；

當時，在上為增函數.

所以，當，即時，在上單調遞增，

；

當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，；

當，即時，在上單調遞減，.

綜上所述，在上，當時，的最小值為；

當時，的最小值為；

當時，的最小值為.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查某大學學生在周日上網的時間，隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調查，得到了如下的統計結果：

表1：男生上網時間與頻數分布表：

上網時間（分鐘）
人數	5	25	30	25	15

表2：女生上網時間與頻數分布表：

上網時間（分鐘）
人數	10	20	40	20	10

（1）若該大學共有女生人，試估計其中上網時間不少于分鐘的人數；

（2）完成表3的列聯表，并回答能否有的把握認為“學生周日上網時間與性別有關”？

（3）從表3的男生中“上網時間少于分鐘”和“上網時間不少于分鐘”的人數中用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網時間超過分鐘的概率.表3：

	上網時間少于60分鐘	上網時間不少于60分鐘	合計
男生
女生
合計

附：，其中，

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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【題目】已知數列、，其中，，數列滿足,，數列滿足．

（1）求數列、的通項公式；

（2）是否存在自然數，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；

（3）若數列滿足，求數列的前項和．

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【題目】已知圓的半徑為3，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切.

（1）求圓的標準方程；

（2）過點的直線與圓交于不同的兩點，而且滿足，求直線的方程.

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【題目】為了解某中學學生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況，調查部門在該校進行了一次問卷調查（共12道題），從該校學生中隨機抽取40人，統計了每人答對的題數，將統計結果分成，，，，，六組，得到如下頻率分布直方圖.

（1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計這40人的成績的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）若從答對題數在內的學生中隨機抽取2人，求恰有1人答對題數在內的概率.

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【題目】小明和爸爸媽媽、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現場錄制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與小明相鄰，則不同的坐法總數為________.

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【題目】2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，某省由于人員流動性較大，成為湖北省外疫情最嚴重的省份之一，截至2月29日，該省已累計確診1349例患者（無境外輸入病例）.

（1）為了解新冠肺炎的相關特征，研究人員從該省隨機抽取100名確診患者，統計他們的年齡數據，得下面的頻數分布表：

年齡
人數	2	6	12	18	22	22	12	4	2

由頻數分布表可以大致認為，該省新冠肺炎患者的年齡服從正態分布img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/11/70cd3e4c/SYS202005251112216152234742_ST/SYS202005251112216152234742_ST.011.png" width="80" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，其中近似為這100名患者年齡的樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.請估計該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上（）的患者比例；

（2）截至2月29日，該省新冠肺炎的密切接觸者（均已接受檢測）中確診患者約占10%，以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發生的概率，每名密切接觸者是否確診相互獨立.現有密切接觸者20人，為檢測出所有患者，設計了如下方案：將這20名密切接觸者隨機地按（且是20的約數）個人一組平均分組，并將同組的個人每人抽取的一半血液混合在一起化驗，若發現新冠病毒，則對該組的個人抽取的另一半血液逐一化驗，記個人中患者的人數為，以化驗次數的期望值為決策依據，試確定使得20人的化驗總次數最少的的值.

參考數據：若，則，，，，，.

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【題目】某公司生產了兩種產品投放市場，計劃每年對這兩種產品托人200萬元，每種產品一年至少投入20萬元，其中產品的年收益，產品的年收益與投入（單位萬元）分別滿足；若公司有100名銷售人員，按照對兩種產品的銷售業績分為普銷售、中級銷售以及金牌銷售，其中普銷售28人，中級銷售60人，金牌銷售12人

（1）為了使兩種產品的總收益之和最大，求產品每年的投入

（2）為了對表現良好的銷售人員進行獎勵，公司制定了兩種獎勵方案：

方案一：按分層抽樣從三類銷售中總共抽取25人給予獎勵：普通銷售獎勵2300元，中級銷售獎勵5000元；金牌銷售獎勵8000元

方案二：每位銷售都參加摸獎游戲，游戲規則：從一個裝有3個白球，2個紅球（求只有顏色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到紅球的總數為2，則可獎勵1500元，若摸到紅球總數是3，則可獲得獎勵3000元，其他情況不給予獎勵，規定普通銷售均可參加1次摸獎游戲；中級銷售均可參加2次摸獎游戲，金牌銷售均可參加3次摸獎游戲（每次摸獎的結果相互獨立，獎勵疊加）