Question

【題目】己知定義在上的函數的單增區間為，且圖象過點.

（1）求函數的解析式；

（2）對任意的，存在常數使得成立，求整數的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或0.

【解析】

（1）根據單調區間求出，再根據二次函數的圖象過解出即可求解.

（2）（法1）令，條件等價于對任意的，存在常數使得成立，只需，設，根據二次函數的圖象與性質，討論的取值范圍，求出函數的最小值，即，根據函數的單調性即可的最大值，

（法2）令，根據題意條件等價于對任意的，存在常數使得成立，函數在上的最大值不小于，根據的單調性即可求出最大值為，從而只需條件等價于對任意的，，只需即可.

（1）由題知，解得，

因為二次函數的圖象過點，所以，解得，

所以；

（2）（法1）令，則題目中條件等價于對任意的，

存在常數使得成立，

也就是等價于關于t的函數在上的最小值不小于.

下面求函數在上的最小值.

當，即時，；

當，即時，；

記函數在上的最小值為，

則，

于是原命題就等價于：存在常數，使得成立，

即等價于關于m的函數的最大值不小于即可，

因為函數在上是單調遞減的，所以，

所以，解得，又，所以或0.

（法2）令，則題目中條件等價于對任意的，

存在常數使得成立，

也就是等價于關于m的函數在上的最大值不小于.

因為，所以函數在上單減，

因此，即，

則題目中條件等價于對任意的，，

即函數在上的最小值不小于.

又，，

所以，

解得，又，

所以或0.