Question

已知函數f（x）=cos2x+asinx
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數f（x）的最小值為-6，求實數a的值；
（Ⅲ）若a∈R，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=2代入函數解析式，利用同角三角函數間的基本關系變形，利用二次函數的性質求出函數f（x）的值域即可；
（Ⅱ）函數f（x）解析式配方后，利用二次函數的性質表示出最小值，根據最小值為-6，即可求出實數a的值；
（Ⅲ）將函數解析式配方后，分a＜-2；-2≤a≤2；以及a＞2三種情況，利用二次函數的性質求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
則函數f（x）的值域為[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
∴f（x）_min=

a(a≤0) -a(a＞0)

，
∵f（x）的最小值為-6，
則a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
則f（x）_max=

-a(a＜-2) a2 4 +1(-2≤a≤2) a(a＞2)

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，二次函數的性質，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．