Question

已知以T=4為周期的函數f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5個實數解，則m的取值范圍為（　　）

• A．(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• B．(

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• C．(

  15

  4

  ，

  63

  4

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  7

  )

Answer 1

分析：根據對函數的解析式進行變形后發現當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據圖象推斷要使方程恰有5個實數解，則需直線y=

x

4

與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據△可求得m的范圍．

解答：解：：∵當x∈（-1，1]時，將函數化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），此時，函數的圖象實質上為一個半橢圓，其圖象如圖所示：
同時在坐標系中作出當x∈（1，3]時的函數圖象，再根據周期性作出函數其它部分的圖象．
由圖易知直線 y=

x

4

與第二個半橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，而與第三個半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）
無公共點時，方程恰有5個實數解，
將 y=

x

4

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（16m²+1）x²-128m²x+240m²=0，令t=16m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m² ＞15，且m＞0得 m＞

15

4

．
再將 y=

x

4

代入（x-8）²+

y2

m2

=1 化簡，再由判別式△′＜0可得m＜

63

4

．
綜上可得

15

4

＜m＜

63

4

，
故選C．

點評：本題主要考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，及函數的周期性，其中根據方程根與函數零點的關系，結合函數解析式進行分析，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．