Question

如圖是A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F是一個滑滑板的軌道截面圖，其中AB，DE，EF是線段，B﹣C﹣D是一拋物線弧；點C是拋物線的頂點，直線DE與拋物線在D處相切，直線L是地平線．已知點B離地面L的高度是9米，離拋物線的對稱軸距離是6米，直線DE與L的夾角是45．試建立直角坐標系：
（Ⅰ）求拋物線方程，并確定D點的位置；
（Ⅱ）現將拋物線弧B-C-D改造成圓弧，要求圓弧經過點B，D，且與直線DE在D處相切．試判斷圓弧與地平線L的位置關系，并求該圓弧長．
（可參考數據，精確到0.1米）

Answer 1

解：（Ⅰ）以C為原點，L所在的直線為X軸，
如圖所示建立直角坐標系，則B（﹣6，9）．   
  設拋物線的方程為y=ax²，
把點B（﹣6，9）代入y=ax²得，
故拋物線方程為．
設，
根據直線DE與L的夾角是45．
得直線L的斜率為1，
由，
∴，∴x₀=2，
故D點的坐標是（2，1）．
（Ⅱ）設所求圓的圓心為H．
過D與L垂直的直線方程是l₁：y=﹣x+3，
BD的中點坐標是（﹣2，5），k_BD=﹣1，
故BD中垂線方程是y=x+7，
由  ．
∴H（﹣2，5）．
∵B（﹣6，9）∈l₁，∴BD是直徑．
∵．
∴．
∵圓心H到L的距離為d=5，，
故圓弧與地平線L相離．