Question

已知函數f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（α）=2，且α∈[

π

4

，

π

2

]，求α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式，二倍角公式化簡函數的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+1，由此求得函數的最小正周期及最小值．
（2）由f（α）=2，求得sin(2α+

π

6

)=

1

2

，再由α∈[

π

4

，

π

2

]求出2α+

π

6

=

5

6

π，從而求出α的值．

解答：解：（Ⅰ）函數f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，…（5分）
因此，f（x）的最小正周期為π，最小值為-2+1=-1．…..（7分）
（2）由f（α）=2 得2sin(2α+

π

6

)+1=2，即sin(2α+

π

6

)=

1

2

．…（9分）
而由α∈[

π

4

，

π

2

]得2α+

π

6

∈[

2

3

π，

7

6

π]，…..（10分）
故 2α+

π

6

=

5

6

π，…..（11分）
解得α=

π

3

．…..（12分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，二倍角公式的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．