Question

已知函數且．
（I）求m的值；
（II）判定f（x）的奇偶性；
（III）證明f（x）在上是單調遞增函數．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（4）=，
∴f（4）=4^m+=，
∴4^m=4，m=1…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+，
∵f（x）的定義域為{x|x≠0}，…5
又f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）是奇函數…8
（Ⅲ）設≤x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+-（x₂+）=（x₁-x₂）（1-）=（x₁-x₂）…11
∵≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴＞0，…13
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在上是單調遞增函數．
分析：（Ⅰ）由于f（4）=，故f（4）=4^m+=，從而可求得m；
（Ⅱ）利用奇偶函數的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用單調性的定義即可判斷之．可設≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判斷即可．
點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，著重考查對奇偶性與單調性概念的理解與應用，屬于中檔題．