Question

已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）求滿足的a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)在（0，+∞）上遞減，
∴m²-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N*
∴m=1或2，又函數(shù)圖象關于y軸對稱，
∴m²-2m-3為偶函數(shù)，故m=1為所求．
（2）函數(shù)在（-∞，0），（0，+∞）上均為減函數(shù)
∴
等價于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得
故a的取值范圍為
分析：（1）冪函數(shù)y=x^α的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．則必須滿足α為偶數(shù)且α＜0，則易得m的值．
（2）再根據(jù)冪函數(shù)y=x^α的單調性，求滿足的a的取值范圍．
點評：冪函數(shù)y=x^α，α＜0時則為減函數(shù)；α＞0時，冪函數(shù)為增函數(shù)．要注意α的不同，其定義域是不同的．解不等式時要注意．