Question

（2012•黃山模擬）黃山風景區某旅游超市銷售不同價格的兩種紀念品，一種單價10元，另一種單價15元，
超市計劃將這兩種紀念品共4件（兩件10元，兩件15元）在超市入口和出口處展出銷售，假設光顧該超市的一位游客隨機的從這兩處選購紀念品，且選購單價10元和15元的紀念品是等可能的．
（Ⅰ）若每處各展出一件10元的紀念品和一件15元的紀念品，則該游客只選購了一件紀念品且單價為15 元的概率是多少？
（Ⅱ）若每處至少展出一件紀念品，記該游客只選購了一件紀念品且單價為15元的概率為P，怎樣分配展出能使P的值最大？并求出P的最大值；
（Ⅲ）若每處隨機的各展出兩件紀念品，該游客從這兩處各選購了一件紀念品，記該游客選購紀念品的消費總金額為X元，求隨機變量X的分布列，并求出X的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）選購單價10元和15元的紀念品是等可能的，故其概率均為

1

2

，故可求 該游客只選購了一件紀念品且單價為15 元的概率；
（Ⅱ）對4件紀念品的展出分類討論，分別求出概率，即可得到結論；
（Ⅲ）記該游客選購單價為15元的紀念品數為Y，則Y的可能取值為0，1，2，且X=15Y+10（2-Y）=5Y+20，求出Y相應的概率、期望，即可得到隨機變量X的分布列為與期望．

解答：解：（Ⅰ）選購單價10元和15元的紀念品是等可能的，故其概率均為

1

2

∴該游客只選購了一件紀念品且單價為15 元的概率是P=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

=

1

2

…（3分）
（Ⅱ） a：當一處展出1件單價為10元的紀念品，另一處展出另外3件紀念品時P=

1

2

×0+

1

2

×

2

3

=

1

3

b：當一處展出1件單價為15元的紀念品，另一處展出另外3件紀念品時P=

1

2

×1+

1

2

×

1

3

=

2

3

c：當一處展出2件單價為10元的紀念品，另一處展出2件單價為15元的紀念品時P=

1

2

×0+

1

2

×1=

1

2

d：當每處各展出一件單價為10元的紀念品和一件單價為15元的紀念品時P=

1

2

所以，當一處展出1件單價為15元的紀念品，另一處展出另外3件紀念品時P的值最大，最大值為

2

3

…（8分）
（Ⅲ）記該游客選購單價為15元的紀念品數為Y，則Y的可能取值為0，1，2．
且X=15Y+10（2-Y）=5Y+20
P(Y=0)=

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

6

，P(Y=1)=

1

3

×1+

2

3

×(

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

)=

2

3

，P(Y=2)=

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

6

EY=0×

1

6

+1×

2

3

+2×

1

6

=1，所以隨機變量X的分布列為

X	20	25	30
P	1 6	2 3	1 6

EX=5EY+20=25元…（13分）

點評：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值與含義是關鍵．