Question

已知函數f（x）=x²+xsinx，x∈（-

π

2

，

π

2

），則下列式子成立的是（　　）

• A、f(-1)＜f(

  1

  2

  )＜f(

  3

  2

  )
• B、f(

  1

  2

  )＜f(-1)＜f(

  3

  2

  )
• C、f(

  1

  2

  )＜f(

  3

  2

  )＜f(-1)
• D、f(

  3

  2

  )＜f(-1)＜f(

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由奇偶性的定義得到函數f（x）為偶函數，求導數得到函數f（x）在(0，

π

2

)上為增函數，則函數在(-

π

2

，0)上為減函數．結合單調性和奇偶性即可判斷出答案．

解答：解：函數f（x）=x²+xsinx，x∈（-

π

2

，

π

2

），定義域關于原點對稱，且f（-x）=（-x）²+（-x）sin（-x）=x²+xsinx=f（x）．
∴函數f（x）為偶函數，∴f（-1）=f（1）．
又當x∈(0，

π

2

)時，f′（x）=2x+sinx+x•cosx＞0．
∴f（x）在(0，

π

2

)上為增函數，則f（x）在(-

π

2

，0)上為減函數．
∵

1

2

＜1＜

3

2

，
∴f(

1

2

)＜f(1)＜f(

3

2

)，
則f(

1

2

)＜f(-1)＜f(

3

2

)．
故選：B．

點評：本題考查了函數的單調性和奇偶性，考查了函數的單調性與導函數符號之間的關系，是基礎題．