Question

已知點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積-．
（1）求點M軌跡C的方程；
（2）若過點D（2，0）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點D、F（E在D、F之間），試求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），∵，∴，整理后就得到動點M的軌跡方程．
（2）設(shè)l的方程為，將①代入，解得，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則，令λ=，且0＜λ＜1．由此可求出△ODE與△ODF面積之比的取值范圍是．
解答：解：解：（1）、設(shè)M（x，y），∵，∴，
整理得動點M的軌跡方程為．
（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為
將①代入，得l的方程為（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，由△＞0，解得．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
令λ=，且0＜λ＜1．
由②得，，
∴，即
∵，且，∴，且．
解得，且，∵0＜λ＜1，∴且．
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大．在解題時要認真審題，仔細解答．