Question

已知f(x)=lnx-x+a,x∈(0,2］.

（1）求f(x)的單調區間；

（2）若f(x)＜a²-3對于任意x∈(0,2］恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）f′(x)=-1(x＞0).令f′(x)=0,得x=1.

當0＜x＜1時，f′(x)＞0,f(x)單調遞增；

當1＜x≤2時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減.

∴函數f(x)的單調增區間為(0,1),單調減區間為(1,2］.

（2）由（1）知，當x=1時，f(x)取得最大值，

即f(x)_max=f(1)=a-1.

由題意f(x)＜a²-3對于任意x∈(0,2］恒成立，

∴f(x)_max＜a²-3,即a-1＜a²-3.

解得a＞2或a＜-1，即所求a的范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）.