Question

已知函數f（x）=

ln(1+x)

ax

，其中a＞0．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a使f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立？若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得到函數的單調區間；
（2）若f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R⁺上恒成立．構造函數h（x）=ln（1+x）-ax（x∈R⁺），只需找滿足不等式h（x）＜0的a值即可．

解答：解：（1）f′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

ax2

，設g（x）=

x

1+x

-ln(1+x)=1-

1

1+x

-ln（1+x），
則g′（x）=（1+x）^-2-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

．
可知g（x）在（-1，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
所以f（x）在（-1，0），（0，+∞）上是減函數，
即f（x）的單調遞減區間為（-1，0），（0，+∞）．
（2）若f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立，即ln（1+x）＜ax在R⁺上恒成立．
設h（x）=ln（1+x）-ax（x∈R⁺），則h′（x）=

1

1+x

-a，
①若a≥1，則x∈R⁺時，h′（x）＜0恒成立，所以h（x）＜h（0）=0符合題意；
②若a≤0，顯然不符合題意；
③若0＜a＜1，則h′（x）=

1

1+x

-a=0，有x=

1

a

-1，所以x∈（0，

1

a

-1）時h′（x）≥0，
所以y=h（x）在[0，

1

a

-1]上為增函數，當x∈[0，

1

a

-1]時，h（x）＞h（0）=0，所以不符合題意．
綜上，a≥1．

點評：本題考查應用導數研究函數的單調性、最值問題，不等式的證明問題常轉化為函數的最值處理．